Исследование условий теплового взрыва в пластине с переменными свойствами при зависимости источника теплоты от температуры

Состояние вопроса. Интерес к получению аналитических решений задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды при зависимости внутреннего источника теплоты от температуры объясняется необходимостью исследования высокотемпературных процессов теплового воспламенения и взрыва, протекающих в режимах с обострением, при которых теплота, локализуясь в ограниченной области пространства, в течение короткого диапазона времени приводит к неограниченному возрастанию температуры (тепловому взрыву). Исследование подобных задач в основном выполняется численными методами, так как их решение с помощью известных аналитических методов не предоставляется возможным. В связи с этим актуальным является разработка аналитических методов, позволяющих получать решения таких задач

Материалы и методы. Применительно к решению указанных задач теплопроводности вводятся в рассмотрение дополнительная функция и дополнительные граничные условия, состоящие из координатных соотношений, приводящих к выполнению уравнения теплопроводности на границах. Дополнительная функция представляет временно̀е изменение температуры в некоторой точке пространственной переменной, ее применение позволяет снизить порядок исходного уравнения – из уравнения в частных производных оно приводится к обыкновенному уравнению. Применение дополнительных граничных условий позволяет исключить процесс интегрирования исходного дифференциального уравнения по пространственной переменной вследствие его граничного выполнения.

Результаты. Приводится доказательство теоремы, согласно которой граничное выполнение уравнения приводит к его выполнению во всей области определения пространственной переменной. Найдено решение задачи теплопроводности с переменными физическими свойствами и температурозависящим внутренним источником теплоты. Полученное решение позволяет отделить стационарные режимы от режимов неограниченного возрастания температуры, протекающих при положительном первом собственном числе. Установлено, что возрастание температуры происходит в узкой области пространственной переменной в коротком диапазоне времени, то есть в режиме с обострением. Применен метод, позволяющий при большом числе используемых дополнительных граничных условий исключить интегрирование уравнения по координате, что подтверждено доказательством теоремы. Полученное решение использовано для нахождения мощности источника теплоты, при которой градиент температуры стенки реактора пиролиза метана не превышает допустимой (заданной) величины.

Выводы. С использованием дополнительных граничных условий и дополнительной искомой функции получено аналитическое решение сложнейшей нелинейной задачи теплопроводности с нелинейным источником теплоты. Рассмотренный метод позволяет выполнять исследование процессов горения и взрыва, сопровождающихся неограниченным возрастанием температуры, а также любые другие тепловые процессы в конструкциях с внутренними источниками теплоты, например индукционный прогрев металлов.