Метод дополнительных искомых функций в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды
Е.В. Котова, А.В. Еремин, В.А. Кудинов, В.К. Ткачев, А.Э. Кузнецова
Вестник ИГЭУ, 2019 г. выпуск 2, сс. 59—70
Скачать PDF
Состояние вопроса. Получение аналитических решений задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды с помощью классических аналитических методов представляет большие математические трудности. Известные выражения, представленные сложными бесконечными рядами, включающими одновременно функции Бесселя двух родов и гамма-функции, являются по сути численными ввиду необходимости численного решения сложных трансцендентных уравнений относительно собственных чисел краевой задачи. Такие решения малопригодны для использования их в инженерных приложениях и особенно в случаях, когда решение данной задачи является промежуточной стадией исследования каких-либо других задач (термоупругости, обратных задач, задач управления и др.), для эффективного решения которых требуются аналитические решения исходных задач. В связи с чем разработка каких-либо других методов получения аналитических решений указанных задач, хотя бы и приближенных, является актуальной проблемой.
Материалы и методы. В процессе исследования использованы дополнительные граничные условия и дополнительные искомые функции в интегральном методе теплового баланса.
Результаты. Получены высокоточные аналитические решения нестационарной задачи теплопроводности с неоднородными физическими свойствами среды для бесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода. Исходная задача для уравнения в частных производных сводится к решению двух задач, в которых интегрированию подлежат обыкновенные дифференциальные уравнения. Дополнительные граничные условия определяются в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения (в частных производных) в граничных точках и на фронте температурного возмущения (для первой стадии процесса).
Выводы. Комбинация методов с конечной и бесконечной скоростью распространения теплоты позволила получить высокоточные аналитические решения во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая малые и сверхмалые его значения. Решения имеют простой вид алгебраических степенных полиномов, не включающих специальные функции (Бесселя, Лежандра, гамма-функции и др.). Ввиду отсутствия необходимости непосредственного интегрирования исходных уравнений по пространственной переменной и сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно дополнительных искомых функций, рассмотренный метод может быть применен к решению сложных краевых задач, дифференциальные уравнения которых не допускают разделения переменных (нелинейных, с нелинейными граничными условиями и источниками теплоты и др.).
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1967. – 600 с.
2. Цой П.В. Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса. – М.: Изд-во МЭИ, 2005. – 567 с.
3. Кудинов В.А. Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. – М.: Высш. шк., 2005. – 430 с.
4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – Л.: Физматгиз, 1962. – 708 с.
5. Лыков А.В. Методы решения нелинейных уравнений нестационарной теплопроводности // Энергетика и транспорт. – 1970. – № 5. – С. 109–150.
6. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена. Проблемы теплообмена: сб. науч. тр. – М.: Атомиздат, 1967. – С. 41–96.
7. Кудинов В.А, Кудинов И.В., Котова Е.В. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности // Теплофизика высоких температур. – 2017. – Т. 55, № 4. – С. 556–563. DOI: 10.1134/S0018151X17040101.
8. Кудинов В.А., Кудинов И.В., Скворцова М.П. Обобщенные функции и дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для многослойных тел // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2015. – Т. 55, № 4. – С. 669–680. DOI: 10.1134/S0965542515040089.
9. Кот В.А. Тождества взвешенной температуры // Инженерно-физический журнал. – 2015. – Т. 88, № 2. – С. 409–424.
10. Кот В.А. Метод взвешенной температурной функции // Инженерно-физический журнал. – 2014. – Т. 89, № 1. – С. 183–202.
11. Канторович Л.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР. – 1934. – Т. 2, № 2. – С. 532–534.
12. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. – Новосибирск: Наука, 2000. – 220 с.
13. Кудинов И. В., Кудинов В.А. Аналитические решения параболических и гиперболических уравнений тепломассопереноса. – М.: Инфра-М, 2013. – 391 с.
14. Кудинов И.В., Кудинов В.А., Котова Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности на основе определения фронта теплового возмущения // Изв. вузов. Математика. – 2016. – № 11. – С. 27–41.