Русская версия English version

Метод дополнительных искомых функций в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды

Е.В. Котова, А.В. Еремин, В.А. Кудинов, В.К. Ткачев, А.Э. Кузнецова

Вестник ИГЭУ, 2019 г. выпуск 2, сс. 59—70

Скачать PDF

Аннотация на русском языке: 

Состояние вопроса. Получение аналитических решений задач теплопроводности с переменными физическими свойствами среды с помощью классических аналитических методов представляет большие математические трудности. Известные выражения, представленные сложными бесконечными рядами, включающими одновременно функции Бесселя двух родов и гамма-функции, являются по сути численными ввиду необходимости численного решения сложных трансцендентных уравнений относительно собственных чисел краевой задачи. Такие решения малопригодны для использования их в инженерных приложениях и особенно в случаях, когда решение данной задачи является промежуточной стадией исследования каких-либо других задач (термоупругости, обратных задач, задач управления и др.), для эффективного решения которых требуются аналитические решения исходных задач. В связи с чем разработка каких-либо других методов получения аналитических решений указанных задач, хотя бы и приближенных, является актуальной проблемой.

Материалы и методы. В процессе исследования использованы дополнительные граничные условия и дополнительные искомые функции в интегральном методе теплового баланса.

Результаты. Получены высокоточные аналитические решения нестационарной задачи теплопроводности с неоднородными физическими свойствами среды для бесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода. Исходная задача для уравнения в частных производных сводится к решению двух задач, в которых интегрированию подлежат обыкновенные дифференциальные уравнения. Дополнительные граничные условия определяются в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения (в частных производных) в граничных точках и на фронте температурного возмущения (для первой стадии процесса).

Выводы. Комбинация методов с конечной и бесконечной скоростью распространения теплоты позволила получить высокоточные аналитические решения во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая малые и сверхмалые его значения. Решения имеют простой вид  алгебраических степенных полиномов, не включающих специальные функции (Бесселя, Лежандра, гамма-функции и др.). Ввиду отсутствия необходимости непосредственного интегрирования исходных уравнений по пространственной переменной и сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно дополнительных искомых функций, рассмотренный метод может быть применен к решению сложных краевых задач, дифференциальные уравнения которых не допускают разделения переменных (нелинейных, с нелинейными граничными условиями и источниками теплоты и др.).

Список литературы на русском языке: 

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1967. – 600 с.

2. Цой П.В. Системные  методы расчета краевых задач тепломассопереноса. – М.: Изд-во МЭИ, 2005. – 567 с.

3. Кудинов В.А. Карташов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. – М.: Высш. шк., 2005. – 430 с.

4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – Л.: Физматгиз, 1962. – 708 с.

5. Лыков А.В. Методы решения нелинейных уравнений нестационарной теплопроводности // Энергетика и транспорт. – 1970. – № 5. – С. 109–150.

6. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена. Проблемы теплообмена: сб. науч. тр. – М.: Атомиздат, 1967. – С. 41–96.

7. Кудинов В.А, Кудинов И.В., Котова Е.В. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности // Теплофизика высоких температур. – 2017. – Т. 55, № 4. – С. 556–563. DOI: 10.1134/S0018151X17040101.

8. Кудинов В.А.,  Кудинов И.В., Скворцова М.П. Обобщенные функции и дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для многослойных тел //  Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2015. – Т. 55, № 4. – С. 669–680. DOI: 10.1134/S0965542515040089.

9. Кот В.А. Тождества взвешенной температуры // Инженерно-физический журнал. – 2015. – Т. 88, № 2. – С. 409–424.

10. Кот В.А. Метод взвешенной температурной функции // Инженерно-физический журнал. – 2014. – Т. 89, № 1. – С. 183–202.

11. Канторович Л.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР. – 1934. – Т. 2, № 2. – С. 532–534.

12. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. – Новосибирск: Наука, 2000. – 220 с.

13. Кудинов И. В., Кудинов В.А. Аналитические решения параболических и гиперболических уравнений тепломассопереноса. – М.: Инфра-М, 2013. – 391 с.

14. Кудинов И.В., Кудинов В.А., Котова Е.В. Аналитические решения задач теплопроводности на основе определения фронта теплового возмущения // Изв. вузов. Математика. – 2016. – № 11. – С. 27–41.

Ключевые слова на русском языке: 
нестационарная теплопроводность, переменные физические свойства среды, дополнительные искомые функции, дополнительные граничные условия, фронт температурного возмущения
Ключевые слова на английском языке: 
transient heat conduction, variable physical properties of the medium, additional unknown functions, additional boundary conditions, temperature perturbation front
Индекс DOI: 
10.17588/2072-2672.2019.2.059-070
Количество скачиваний: 
37