Дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности с переменным по координате начальным условием
К.В. Трубицын, Т.Е. Гаврилова, Е.В. Котова, К.В. Колотилкина, С.В. Зайцев, В.А. Кудинов
Вестник ИГЭУ, 2023 г. выпуск 6, сс. 88—94
Скачать PDF
Состояние вопроса. Получение точных аналитических решений задач теплопроводности с переменным начальным условием представляет большие математические трудности. Известные решения выражаются громоздкими функциональными рядами, плохо сходящимися в области малых значений временной и пространственной переменных. В связи с этим получение более простых и эффективных решений указанных задач является актуальной проблемой.
Материалы и методы. Для получения решений использована дополнительная искомая функция и дополнительные граничные условия. Дополнительная искомая функция позволяет сводить исходное дифференциальное уравнение в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения. Дополнительные граничные условия находятся в таком виде, чтобы их выполнение получаемым решением было эквивалентно выполнению уравнения в граничных точках.
Результаты. Разработана методика получения аналитического решения задачи теплопроводности при линейном изменении начального условия, основанная на определении дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий. Из решения обыкновенного дифференциального уравнения относительно дополнительной искомой функции определяются собственные числа, которые в классических методах находится из решения краевой задачи Штурма–Лиувилля. Предлагается другое, более простое направление определения собственных чисел. Получено точное аналитическое решение задачи теплопроводности для неограниченной пластины с переменным по координате начальным условием.
Выводы. Научная и практическая ценность предложенного аналитического решения состоит в разработке нового подхода к определению собственных чисел, а также в исключении процесса определения сложных интегралов при выполнении уравнения и начальных условий краевой задачи, что позволяет упростить использование полученного решения в инженерных приложениях.
- Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. – М.: Высш. шк., 2001. – 550 с.
- Лыков A.B. Теория теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1967. – 600 с.
- Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1978. – 328 с.
- Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. – М.: Энергия, 1975. – 208 с.
- Глазунов Ю.Т. Вариационные методы. – М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. – 470 с.
- Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена: сб. науч. тр. – М.: Атомиздат, 1967. – С. 41–96.
- Модели термомеханики с конечной и бесконечной скоростью распространения теплоты / И.В. Кудинов, А.В. Еремин, К.В. Трубицын, Е.В. Стефанюк. – М.: Проспект, 2020. – 244 с.
- Аналитические методы теплопроводности / В.А. Кудинов, Б.В. Аверин, Е.В. Стефанюк, С.А. Назаренко. – Самара: СамГТУ, 2004. – 209 с.
- Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Получение приближенных аналитических решений при рассогласовании начальных и граничных условий в задачах теории теплопроводности // Известия вузов. Математика. – 2010. – № 4. – С. 63–71.
- Кудряшов Л.И., Меньши́х Н.Л. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности. – М.: Машиностроение, 1979. – 232 с.
- Кудинов И.В., Котова Е.В., Кудинов В.А. Метод получения аналитических решений краевых задач на основе определения дополнительных граничных условий и дополнительных искомых функций // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2019. – Т. 22, № 2. – С. 153–165.
- Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. – Новосибирск: Наука, 2000. – 220 с.